CuánticaFÍSICA MODERNA (Relatividad y Mecánica Cuántica)

CLAVES:
* Mecánica Cuántica
- La Ecuación de Schrödinger corresponde a la versión cuántica del Hamiltoniano Clásico (función energía)
- La solución de la Ecuación de Schrödinger corresponde a una función que contiene "comprimida" toda la información del sistema. En esa función se encuentran las respuestas a cualquier pregunta posible. Sólo hay que saber cómo preguntar. Esto se hace con el operador cuántico correpondiente.
- La función de onda al cuadrado corresponde a la probabilidad de que el sistema interactúe con el observador (¿o "partícipe"?) por intermedio del canal de reacción correspondiente.
* Relatividad General
La Ecuación de Campo de Einstein (EFE) indica la inseparabilidad del par [EspacioTiempo] y [EnergíaMateria] ( = escenario y actores):

Donde:

Es decir:
"La materia le dice al espacio como curvarse y el espacio le dice a la materia como moverse"
O también: "Caminante no hay camino, se hace camino al andar"
- Para un universo estático (sin Big Bang) se requiere de una "gravedad repulsiva" para evitar el colapso del universo por atracción gravitatoria. Esto se consigue agregando una constante cosmológica "" a la Ecuación de Gravedad de Einstein:

Posteriormente Hubble demostró que el universo se encuentra en expansión (no es estático).
En palabras de Einstein:
"Postular una gravedad repulsiva fue el error más grande de mi vida"
....................................................................(... Aunque algunos Físicos creen que no fue un error)
- El tiempo y el espacio están fusionados, no son independientes. Las trayectorias en el espacio de fases ya están dibujadas en el continuo (y estático) EspacioTiempo. ejercicios propuestos de física moderna

EJERCICIOS RESUELTOS DE RELATIVIDAD ESPECIAL, RELATIVIDAD GENERAL Y MECANICA CUÁNTICA

1) Relatividad Especial
La masa de Clark Kent es de 90 Kg y su estatura es de 1.9 m. Sabiendo que Superman vuela horizontalmente a 0.9c
a) Encuentre la estatura de Superman según Luisa Lane (obviamente v(Luisa) --> 0 )
b) Encuentre la "masa relativista" de Superman según Luisa Lane
c) Si para Superman transcurren 10 s, ¿Cuánto tiempo ha transcurrido para Luisa?
d) Compare (c) con la situación de Clark Kent viajando horizontalmente en un avión comercial a 800 Km/h
-----------------------------------------
a)

b)
NOTA: La masa relativista sólo tiene sentido al vincularla con el momentum

c)
Así que los intervalos temporales de Superman se dilatan <-----> Un segundo de Superman dura 2.3 s de Luisa

d)
Luego:

2) MQ: Pozo de Potencial Impenetrable 1D
Sea una partícula de masa m dentro de un pozo impenetrable 1D de longitud L:

Encuentre el valor esperado de la posición de la partícula.
-----------------------------
I) La Ecuación de Schrödinger para arroja la autofunción
- La Ecuación de Schrödinger dentro del pozo (V = 0) es:

- Solución:

II) Condiciones de Borde:

Por lo tanto:

- Observemos que la mínima energía de la partícula no puede ser cero, sino:

III) Autofunción
- Por ahora:

- ¿Cuánto vale A? ---> Condición de normalización:

- Finalmente:

IV) Valor esperado de la posición:

3) Expansión Cosmológica

... Sabiendo que la rapidez de alejamiento de las galaxias por efecto de la expansión cosmológica es , encuentre la rapidez con la que se aleja una galaxia que se encuentra a 1 Megaparsec de nosostros si el universo fuese plano
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4) Universos FRW
El radio de curvatura del universo satisface la siguiente ecuación diferencial:

Analice la evolución del universo si
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corresponde a la densidad de materia en el universo, de modo que: .
Luego, la ecuación diferencial puede escribirse como:

* Si se obtiene:
Este es un universo "hiperbólico"

*
Este es un universo "plano" (curvatura nula)

*
Este es un universo "esférico" (curvatura positiva)

En este último caso, la abundancia de materia en el universo es suficientemente alta como para frenar el Big Bang e "intentar" compactarlo en un punto por atracción gravitatoria.

5) Principio de Incertidumbre de Heissenberg (PIH)
Se desea visualizar un electrón del modo "convencional" (con luz). Para ello se dispara un fotón de longitud l, de modo que el observador detecta la posición del electrón por medio de la recepción del fotón reflejado en la "superficie" del electrón. Demuestre que la incerteza en la posición del electrón multiplicado por la incerteza en el momentum del electrón satisface el PIH.
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El PIH es una característica intrínseca del mundo microscópico. Las variables físicas como la posición y el momentum están objetivamente indeterminados y sus incertezas no provienen de problemas tecnológicos asociados a los instrumentos de medición. La situación es al revés: según el Principio de Correspondencia, cuando los números cuánticos (como n, l y m_l) son "grandes", el mundo cuántico se convierte en clásico. Luego, podemos entender clásicamente el PIH mediante "complicaciones" en el proceso de medición, teniendo presente que esas complicaciones provienen de incertezas objetivas (p ej: el electrón no está en una única posición, sino más bien está en todas las posiciones posibles dentro de un rango )
- Sea un electrón al que se le dispara un fotón. El fotón se dispersará en un cono de luz caracterizado por un ángulo , de acuerdo con la siguiente figura:

- El observador recibirá un cono de luz (y no un rayo), el que cumplirá con la ley de difracción:

- Luego, la posición del electrón se indetermina en:
- Por otro lado, el fotón al golpear al electrón provoca un cambio en el momentum del electrón:

-> Momentum inicial:

-> Momentum final del fotón:
El rayo de luz se convierte en un cono, de modo que el momentum del fotón queda indeterminado dentro de un ángulo

-

-
- Luego, la incerteza en el momentum en el eje x del electrón es:

- Finalmente:

Es decir, la incerteza experimental es mayor que la incerteza intrínseca del mundo cuántico
- Observemos que si queremos disminuir la incerteza en la posición del fotón, tendremos que enviar fotones "cortos" (muy energéticos):

... pero estropearemos la precisión del momentum:

(en todo caso se sigue cumpliendo el PIH)

6) Dinámica Relativista
Sea la siguiente colisión 2D (m_A = M_B = 1 Kg) vista desde un sistema S en reposo:

Demuestre que el momentum se conserva cuando la colisión se observa desde un sistema S' que se mueve con
--------------------------------------------------------------
Según Lorentz:



Luego

Por otro lado:

7) Agujeros Negros
- El horizonte de Schwarzschild corresponde al radio bajo el cual un cuerpo celeste se convierte en agujero negro
- El radio de Schwarzschild es:

- En un agujero negro, la rapidez de escape es mayor que c, cosa que es imposible de conseguir. De modo que ni la luz puede escapar de la gravedad de un agujero negro (los rayos luminosos "disparados" desde la superficie de un agujero negro "recaen" hacia éste)
a) ¿Qué significa la relación de Kerr-Newman?
b) Encuentre la densidad que tendría que tener nuestro planeta para convertirse en un agujero negro (M_T = 6*10²⁴ Kg)
c) Encuentre la energía máxima que se puede extraer desde un agujero negro, dados:
- Teorema del área: la superficie del horizonte de eventos de un agujero negro nunca puede disminuir en el tiempo
- La superficie del horizonte de un agujero negro es:

- La rotación máxima (momentum angular) que puede conseguir un agujero negro es:
- La superficie máxima del horizonte de eventos es:
--------------------------------------------------------------
a) Los agujeros negros satisfacen la relación:


... La relación contiene todas las soluciones triparamétricas (M, Q y J) conocidas que describen a los agujeros negros. Utilizando esta desigualdad se puede llegar a concluir que el desplome gravitatorio total de un cuerpo celeste siempre produce un agujero negro del tipo Kerr-Newman.
- Si J = 0 se obtiene un agujero negro de Schwarzschild
- Si J = KM²/C, se obtiene un agujero negro de Kerr (en rotación máxima)

b) Para nuestro planeta:

c) Si partimos con un agujero negro cuya superficie sea mínima <---> en rotación máxima:

Y luego se extrae energía , la nueva superficie siempre será menor o igual que la máxima:

Según el Teorema del área:
Es decir:

Luego, en el caso extremo:
De modo que

Por lo tanto, en un agujero negro se puede extraer hasta el 29.3% de la energía original (v/s fusión de hidrógeno en helio: apenas ~ 1%)

8) Desintegración alfa (Gamow, Gurney y Condon, 1928)
... Encuentre la probabilidad de desintegración por emisión alfa, asumiendo que la partícula alfa siempre existe y que se encuentra atrapada entre dos barreras de potencial de altura Vo:

--------------------------------------------------------------
i) Probabilidad de desintegración y vida media.
Según Gamow:
- La barrera de potencial se ubica entre x = R y x = r₁, siendo

- Se asume que la partícula alfa siempre existe dentro de la barrera de potencial
- La partícula alfa choca repetidamente contra la barrera
- Entre choque y choque la distancia recorrida es 2R
- Luego, la frecuencia de los choques es
- Sea P la probabilidad de traspasar la barrera por efecto túnel. La desintegración alfa ocurre cuando la partícula alfa consigue traspasar la barrera
- La probabilidad de desintegración por unidad de tiempo será .. y la vida "promedio" (o "esperada") será

ii) Barreras de potencial
- Las barreras pueden ser modeladas del siguiente modo:

Observemos que la probabilidad de traspasar la barrera de la derecha (2) es igual a la probabilidad de traspasar la barrera de la izquierda (4)... => estudiaremos la barrera de la derecha.

iii) Funciones de onda
- En la zona 1, la partícula se mueve hacia adelante y hacia atrás:

- En la zona 2 se encuentra la barrera de potencial:

- Si la partícula se encuentra en la zona 3 es porque fue expulsada del núcleo ... => se mueve obligatoriamente hacia la derecha

iv) Condiciones de borde:

v) El coeficiente de transmisión de la barrera es:

- Reemplazando D en (Ec 3) y (Ec 4):

- Despejando C desde la Ec 5:

- Igualando



Observemos que:

vii) Aproximaciones

Sea el espesor de la barrera lo suficientemente grande como para atenuar el haz, de modo que
Luego:

La probabilidad de transmisión será:

Observemos que:

viii) Gamow observó que la expresión

Finalmente:

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